Sistemas de Numeración

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Sistema de Numeración

Los signos que se utilizan para contar se denominan dígitos ó cifras y van de 0 al 9. A partir de estas cifras es posible escribir cualquier número. Para ello, se deben seguir  unas normas que reciben el nombre de sistema de numeración. El que se utiliza en la vida cotidiana y en la mayor parte de las áreas científicas es el sistema decimal.

SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL

La base de un sistema de numeración es la cantidad de unidades que constituyen una unidad de orden superior. En el sistema decimal, la base es 10: el orden inferior se denomina unidad; 10 unidades forman una unidad de orden superior, las decenas; 10 decenas constituyen una unidad en el orden de la centenas; 10 centenas forman una unidad de millar, y así de forma sucesiva, se establece cualquier orden de magnitud que se precise.

Un número puede estar formado por varias cifras.

En el sistema decimal, se escriben en el extremo de la derecha de un número sus unidades, y cada vez más hacia la izquierda se colocan, por orden, las decenas, las centenas, las unidades de millar, etc. Por ejemplo, el número 38912 está formado por:

decenas de millar  unidades de millar  centenas  decenas  unidades
        3         8     9     1     2

El valor de una cifra queda determinado por la posición que ocupa en el número. Cada decena son 10 unidades; cada centena son 100 unidades y cada unidad de un millar son 1 000 unidades. Por esta razón, un número como el 5 723 se puede descomponer, y escribir de la siguiente manera:

5 723 = 5 x 1 000 + 7 x 100 + 2 x 10 + 3

La expresión anterior es equivalente a otra más simple:

5 723 = 5 000 + 700 + 20 + 3

Los múltiplos de 10 (100, 1 000,…) se pueden representar también como una potencia de base 10:

10 = 101;          100 = 102

1 000 = 103;    10 000 = 104

Si en la descomposición de un número se utilizan potencias de 10, esta recibe la denominación de descomposición polinómica. La descomposición polinómica de 5 723 es:

5 723 = 5 x 103 + 7 x 102 + 2 x 101 + 3

En resumen, las características del sistema decimal son las siguientes:

Se utilizan 10 signos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
La posición que ocupa cada cifra determina el número de unidades.
10 unidades de una posición se interpreta como una de la unidad de orden superior.

La base más común es la base decimal, y se supone que su origen se debe al hecho de contar  con los dedos de las dos manos, que suman 10. En los programas informáticos, sin embargo, son habituales tanto la base binaria (es decir, de base 2) como la base hexadecimal (de base 16). Otros sistemas utilizan valores distintos: para contar minutos  y segundos, por ejemplo, se emplea la base sexagesimal (base 60), pues una hora (unidad superior) se compone de 60 minutos (unidad inferior). Un número se puede escribir en cualquier base y, en consecuencia, es posible convertir un número de una base a otra.

OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sistema binario

En el sistema binario la base es el 2, y utiliza dos signos: el 1 y 0. Se aplica en las computadoras porque los circuitos que las componen pueden encontrarse sólo en dos estados: abiertos o cerrados. A cada uno de ambos estados que se le asigna un valor. Cualquier número decimal se puede escribir en base binaria y, al mismo tiempo, cualquier número binario se puede escribir en base decimal.

Sistema Hexadecimal

En base 16, o Hexadecimal, se utilizan 16 dígitos: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

A, B, C, D, E y F. Las letras de la A hasta la F representan los números del 10 al 15, en el mismo orden, por los que estos números se sustituirán por las letras correspondientes cada vez que aparezcan.

Cambios de base

Base binaria

Para convertir un número de base 10 en la base binaria, se divide el número de base decimal por 2. El resultado se divide de nuevo por 2 tantas veces como sea necesario, hasta que el cociente aparezca en 1.

Para componer el número binario, primero se escribe el cociente de la última división efectuada y después se escriben cada uno de los restos de las divisiones realizadas, ordenados en sentido inverso a como se han obtenido, hasta llegar a la primera división. Para convertir,  por ejemplo, el número 6 en un número binario se divide, primero,    6 ÷ 2= 3

El cociente es 3. Hay que seguir dividiendo hasta que el cociente aparezca un 1. Por lo tanto, se divide 3 ÷ 2 = 1.

En esta división aparece un 1 en el cociente, lo cual indica que se ha llegado al fin de esta parte del proceso. Para escribir el número binario, primero se escribe el número cociente de la última división, en este caso, 1; después, el resto de la última división, que vuelve a  ser 1; Por último, se anota el resto de la primera operación, que es 0. Así pues, el número  6 en base 10, en base 2 de escribe 110. Para que no haya confusión, a menudo se añade la base de cada número en un subíndice (cifras o letras de menor tamaño, que se escriben algo más abajo que las normales); en el ejemplo que se ha seguido, seria de la siguiente manera: 610 = 1102.

Para convertir un número de base 2 en un número en sistema decimal, primero se multiplica la cifra del extremo derecho por la potencia 20. La cifra inmediata a la izquierda se multiplica por 21, que vale 2. La tercera cifra se multiplica por 22, resultado de multiplicar 2 x 2, que da 4. La cuarta cifra se multiplica por 23 , que es igual a 2 x 2 x 2 y cuyo resultado es 8.  Cada cifra a la izquierda se multiplica por una potencia mayor. Para acabar, se suman todos los valores. Para convertir, por ejemplo, el número en base binaria 101 en su forma en base decimal, se multiplica la última cifra por la potencia 20 .Cualquier número elevado al exponente 0 da como resultado 1, por lo que la multiplicación es: 1 x 20 = 1 x 1 = 1

La segunda cifra es un 0, que se multiplica por 21; como la potencia 21 es 2, la multiplicación queda así: 0 x 21 = 0 x 2 = 0

La tercera cifra, un 1, se multiplica por 22 , igual a 4 (resultado de multiplicar 2 x 2). El producto es: 1 x 22 = 1 x 4 = 4

Finalmente se suman los parciales: 1 + 0 + 4 = 5

Es decir: 1012  = 510.

Base hexadecimal

Para convertir el número de base decimal en su forma  hexadecimal, se procede la misma manera a como se hace para pasar de base decimal a binaria, pero en esta transformación se divide por 16, en lugar por 2, y el proceso se repite hasta que el cociente sea inferior a 16. El proceso inverso, es decir, el paso de la forma hexadecimal de un número al decimal, también sigue los pasos dela conversión de base binaria a la decimal, pero se ha de tener en cuenta  que la potencia debe tener de base 16, en lugar de base 2.

Generalización del cambio de base

Estos métodos se pueden aplicar para trasformar un número en forma decimal a otra en cualquier otra base (y también para la trasformación contraria), con solo tener presente que la base a cual se quiere pasar indica la cantidad que se toma para realizar las divisiones en un caso, o bien para calcular las potencias, en el inverso.

HISTORIA SE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

En general, los sistemas de numeración se clasifican en dos grandes grupos: los de numeración aditivos y los posicionales. En los primeros, cada signo tiene un valor determinado, que se suma al de los restantes signos que componen el número escrito. Los sistemas aditivos aparecieron, en la historia de la humanidad, antes que los posicionales. Son más sencillos de usar, aunque para representar números elevados no resultan prácticos. En los sistemas posicionales, en cambio, el valor de un número depende de la posición que ocupe, tal como sucede en el sistema de numeración decimal.

Las grandes civilizaciones antiguas, como los hindúes, los mayas, los aztecas y los romanos, desarrollaron sus propios sistemas de numeración y a veces crearon signos especiales para representar los números.

En el siglo VI d.C. los hindúes utilizaban nueve signos numerales, cuyos valores, al combinarse, dependían de su posición en la combinación. Más tarde adoptaron un signo (el cero) para indicar ausencia de cantidad en una posición determinada; en el s. IX el cero era ya de uso común en los textos hindúes.                               

Numeración maya

La civilización maya utilizó desde el s. IV de.C. Un sistema posicional de base 20, por cuya razón se denomina vigesimal. Los mayas usaban solo tres  signos: el punto, la raya y el caracol o concha. El caracol representaba el cero, el punto equivalía a 1 unidad, y la raya contaba como 5.

A partir del número 20, los signos numéricos se apilaban en vertical, y en ello se distinguían diferentes niveles u órdenes. Para traducir un número maya al sistema decimal se debe observar, en primer lugar, en cuántos niveles se apilan los símbolos. Una vez hecha esta operación, se cuentan las unidades que hay en cada nivel.

Numeración azteca

El sistema de numeración azteca también era vigesimal. Las cantidades se indicaban por medio de puntos o esferas hasta el numero veinte; para ello se había adoptado un sistema de barras para agrupar los conjuntos de 5 signos.

Una especie de banderín indicada el veinte y un signo semejante a una pluma equivalía a 20 x 20, es decir, a 400. Para indicar 20 x 20 x 20, o lo que es lo mismo, 8 000, se servían de una bolsa, que sugería una gran cantidad de granos que cabían en ella. Con el paso del tiempo, los aztecas introdujeron en su sistema de numeración el signo de fracciones, que era un disco con partes más oscuras. 

Numeración romana

La numeración romana no es posicional, sino aditiva, por lo que, para saber el valor de un número, se suman (o restan) todos los signos. En Roma se usaban siete signos, para los que se eligieron otras tantas letras del abecedario latino:

I             V           X              L                    C              D                   M

Uno       cinco       diez     cincuenta           cien      quinientos              mil

Para escribir mediante esta notación hay que tener en cuenta algunas normas importantes:

las letras I, X, C y M no pueden escribirse más de tres veces seguidas.

Si un signo se escribe a la derecha de otro y tiene igual o menor valor, entonces se suman ambos valores. Por ejemplo, en el numero VI, se suma el valor de V, que es 5, más el valor de I, que es 1, y el resultado es 6.

Por el contrario, si un signo se escribe a la izquierda de otro de mayor valor, entonces el menor se resta al mayor. Así sucede en el caso del IV, donde el 5 representado por V, se le resta el numero I (el uno), para dar 4. Lo mismo sucede con XL, que representa el número 40, por que se resta X (10) a L (50), y  50 – 10 = 40.
Una raya sobre la letra multiplica su valor por 1 000. Por ejemplo,  IV  significa

4 000  (4 x 1 000), y  M  equivale a 1 000 x 1 000, que es igual a 1 000 000.

Sin embargo, para escribir 3 000 se utiliza  MMM.

La letra l solo resta si va delante de V o X. La letra X solo resta de L o C, y la letra C sólo resta delante de D o M.
Los símbolos V, L o D no se pueden repetir, ni en ningún caso se restan a otro.

Para escribir, por ejemplo, en numeración romana el número de base decimal 28, en primer lugar se convierten las decenas, por ser la cantidad de orden mayor: 2 decenas se escriben XX; a continuación, se transforma el número 8, que se escribe Vlll. Por lo tanto, 28 se representa por XXVlll.

Para convertir un número romano en número decimal se traduce cada signo por el valor que le corresponde, y se suma o se resta, según las normas anteriores. El número DCLXXl, por ejemplo, es 671 porque se suman los valores de todas las letras, sin restar ninguna: D = 500; C = 100; L= 50; cada

X = 10, y l = 1, que al sumarse determinan el valor 671.

Ficha Técnica

Ficha Técnica del Artículo

Por Contenido

Descripción

El sistema de numeración es muy utilizado en la vida diaria y se aplica a diferentes áreas científicas de relevante importancia.

Temática

Matemáticas

Palabras Claves

Sistema de numeración, base, operaciones básicas, dígitos

Tipo de Recurso Didáctico

Texto

Tipo de Recurso (RELPE)

Documentos Curriculares
Información Pedagógica

Áreas

Matemáticas

Grado Escolar

Propiedad Intelectual

Autor

Grupo Océano

Otros Colaboradores

Yuli Domínguez, Portal Educa Panamá

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